每年的 3 月 14 號是 Pi Day 圓周率日，因為 Pi = 3.141529……。

今天同時也是愛因斯坦 137 歲生日。去年 3 月 14 號，我寫了《拋開常識的學者．愛因斯坦》一文去紀念這位物理學家的 136 歲誕辰。文中我介紹了愛因斯坦的前半生平。關於他的成名之作相對論，我後來也在其他文章了作了簡單介紹，包括《你也能懂相對論》淺談狹義相對論的基本數學和《照亮相對論的光（上）、（下）》介紹了相對論與電磁學的關係。

很多讀者都跟我說，希望我寫一篇關於愛因斯坦最著名的方程式 

 的文章。在今天愛因斯坦 137 歲誕辰，我們就來看看愛因斯坦在 1905 當年是如何推導出這家傳戶曉的質能轉換公式吧！

任何一本現代物理學或相對論教科書，無論是本科或研究生程度，都必定會講解 

 的推導過程，涉及四維向量和微積分的數學技巧。不過，原來愛因斯坦當年的推導並沒有使用這些數學工具，而是用更直接的物理去得出 

 這結論。

想像有一隻喵星人。愛因斯坦本來並非說喵星人，而是一個廣義的物理系統，只不過我選擇喵星人做這個物理系統。這隻喵星人會發光（我們今天不討論生物學）。喵星人在靜止不動的時候（牠們很擅長），就有

總能量 = 喵星人能量  E₀ 。

然後想像喵星人發光。由於光是能量，所以我們就會有

總能量 = 喵星人發光後的能量  E₁ + 光的能量。

假設喵星人放出的光總能量為 

。現在隨意選擇一個方向叫做 

 ，如果我們與喵星人相對靜止，就會觀察到一半的光能量 

 沿著 

 方向擴散開去、另外一半的光能量 

 沿著 

 方向擴散開去。因此就有

總能量 = 喵星人發光後的能量 

。

現在，假設我們觀察喵星人發光的時候並非靜止不動，而是沿著與 

 軸的一個夾角 

 方向以均速 

 跑。跟據狹義相對論，我們也可以說自己是靜止的，是喵星人在沿著與 

 軸的一個夾角 

方向以均速 

 跑。所以我們就有

總能量 = 喵星人能量  H₀ 。

注意  H₀  不等於  E₀，因為喵星人的運動狀態不同。然後，我們亦見到喵星人發光。我們知道一道波動在不同的波源運動狀態下，其頻率會有所改變，例如我們會聽到救護車的警報聲由高頻變成低頻，這現象叫做都普勒效應 (Doppler effect)。光也是波動的一種（電磁波動），因此也會有都普勒效應。不過由於光以光速行進，聲波的都普勒公式並不適用，我們需要使用相對論都普勒公式：

頻率比 = 能量比 = 

。

所以

總能量 = 喵星人發光後的能量 

。

於由能量守恆，喵星人發光前後的總能量必須相等，簡化後就有

。

現在我們來想一想，究竟這兩條公式代表什麼？首先我們會發現 

 不見了。這是合理的，因為 

 方向是可以隨意選擇的，任一 

 都不應該影響最後的物理結論。然後我們能夠看出 

 是喵星人發光前的能量於兩個運動狀態下觀測的差別、 

 是喵星人發光後的能量於兩個運動狀態下觀測的差別。因於喵星人從來沒有做過除發光外的事，這兩個能量差別 

 和 

 必定是喵星人在兩個運動狀態下被觀測到的動能。

把上述兩式相減，我們就得到

。

把上式右邊做泰勒展開 (Taylor expansion)，忽略所有 4 次方或更高冪項，就得到近似值

。

這代表什麼呢？如果 

 和 

 來自動能，其差也必來自動能。相信大家都知道動能的公式是 

（相對論的動能公式作泰勒展開並忽略所有 4 次方或更高冪項後也是 

），因此

。

化簡後得到

。

即是發光的能量來自喵星人的質量。除了發光外，考慮任何能量為  E  的物理過程，上述推導過程都完全一樣。因此

。

愛因斯坦，祝你生日快樂。喵。

 

延伸閱讀：

《拋開常識的學者．愛因斯坦》 – 余海峯

《你也能懂相對論》 – 余海峯

《照亮相對論的光（上）》 – 余海峯

《照亮相對論的光（下）》 – 余海峯

原文刊於作者博客